Quiz de prérentrée

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Question 1

Quel est le domaine de définition dans $\mathbb{R}$ de la fonction suivante : $\dfrac{x-1}{e^x-2}$

Catégorie:

Domaine de définition

Votre réponse	Choix	Commentaire	Bonne réponse
	$\mathbb{R} \setminus \{ \ln(2) ; 1 \} $	Seules les racines du dénominateur $e^x-2$ de la fraction sont à exclure du domaine de définition.
	$\mathbb{R} \setminus \{ \ln(2) \} $
	$\mathbb{R} $
	$\mathbb{R} \setminus \{ 1 \} $

Question 2

Quelle est la valeur de cette limite ? $\displaystyle \lim_{x\to +\infty} \sqrt{x+1}-\sqrt{x}$

Catégorie:

Domaine de définition

Votre réponse	Choix	Commentaire	Bonne réponse
	$0$
	$1$	Utiliser la quantité conjuguée de $\sqrt{x+1}-\sqrt{x}$. Multiplier par $\dfrac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}$.
	$-\infty$
	$+\infty$

Question 3

À quel système correspond la région blanche du graphique ?

Catégorie:

Systèmes d'équations, inéquations, 2nd degré

Votre réponse	Choix	Commentaire	Bonne réponse
	$\displaystyle{(S)\begin{cases} 2x+y & > 5\\ x-2y & > 8 \end{cases}}$	C'est la région bleue. Il suffit de tester le point $(x=5 ; y=-2)$.
	$\displaystyle{(S)\begin{cases} 2x+y & > 5\\ x-2y & < 8 \end{cases}}$
	$\displaystyle{(S)\begin{cases} 2x+y & < 5\\ x-2y & > 8 \end{cases}}$
	$\displaystyle{(S)\begin{cases} 2x+y & < 5\\ x-2y & < 8 \end{cases}}$

Question 4

Considérons un système général de 2 équations à 2 inconnues: $\displaystyle (S)\begin{cases} a\times x + b\times y &= c\\ \alpha\times x + \beta\times y &= \gamma \end{cases} $
Soit $E$ l'ensemble des solutions de $(S)$. Combien de solutions possibles peut comporter l'ensemble $E$ ?

Catégorie:

Systèmes d'équations, inéquations, 2nd degré

Votre réponse	Choix	Commentaire	Bonne réponse
	Aucune solution. Système incompatible.
	Exactement deux solutions.	L'existence de plusieurs solutions pour ce système entraîne géométriquement toute une droite infinie de solutions.
	Une infinité de solutions. Système lié.
	Une seule solution. Système régulier.

Question 5

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=(2x^2+3)^3$. La fonction dérivée de $f$ est :

Catégorie:

Continuité et dérivation

Votre réponse	Choix	Commentaire	Bonne réponse
	$f' : x \mapsto 12x(2x^2+3)^2$
	$f' : x \mapsto 3(2x^2+3)^2$	Erreur de calcul. Revoir la règle de calcul de la dérivée des fonctions composées : $u(v(x))' = v'(x) \times u'(v(x))$.
	$f' \: x \mapsto 6(2x^2+3)^2$

Question 6

Soit $f$ une fonction numérique définie sur l'intervalle $[-1;3]$ et $a$ un réel de cet intervalle.
Si $f$ est dérivable sur $[-1;1]$ et sur $[1;3]$ alors $f$ est dérivable sur $[-1;3]$.

Catégorie:

Continuité et dérivation

Votre réponse	Choix	Commentaire	Bonne réponse
	Vrai
	Faux

La fonction dérivée $f'(x)$ possède une dérivée à gauche et à droite de $x=1$, mais rien ne garantit que cette fonction $f'(x)$ ne soit définie pour $x=1$.
C'est le cas dans le graphique ci-dessous.

Question 7

Voici la courbe représentative d'une fonction $f$ sur $[-5;5]$.

Par lecture graphique, cocher les propositions vraies :

Catégorie:

Continuité et dérivation

Votre réponse	Choix	Commentaire	Bonne réponse
	La fonction $f$ n'est pas continue en $x=2$.
	La fonction $f$ est continue en $x=-2$.
	La fonction $f$ est continue sur $[-2;3]$.
	La fonction $f$ est continue sur $]-2;2[$
	La fonction $f$ est continue sur $[2;4[$.

Question 8

La fonction $A$ définie et dérivable sur $[0 ; 1]$ telle que, pout tout $x$ de $[0 ; 1]$ , $\displaystyle A'(x) = \frac{2x}{(1+2x)^2}$ est positive sur $[0;1]$.

Catégorie:

Étude de fonctions

Votre réponse	Choix	Commentaire	Bonne réponse
	Vrai
	Faux

La dérivée est positive, ce qui n'entraîne pas que la fonction soit positive. Essayer avec $\displaystyle A = \frac{-1}{1+x^2}$.

Question 9

Soit $f$ une fonction dérivable sur $\mathbb{R}$. La courbe de sa dérivée est donnée ci-dessous.
$f$ est-elle strictement décroissante sur $] -\infty ; 1 [$ ?

Catégorie:

Étude de fonctions

Votre réponse	Choix	Commentaire	Bonne réponse
	Vrai
	Faux

Quelle est le signe de $f'$ sur $] - \infty ; 1 [$ ? En déduire le sens de variation de $f$.

Question 10

Soit $f$ une fonction dérivable sur $\mathbb{R}$. La courbe de sa dérivée est donnée ci-dessous.
$f$ admet-elle un minimum en $x=1$ ?

Catégorie:

Étude de fonctions

Votre réponse	Choix	Commentaire	Bonne réponse
	Vrai
	Faux

Étudier le signe de $f'$ à gauche et à droite de $x=1$. En déduire le sens de variation de $f$ et conclure sur la nature du point de la courbe de $f$ d'abscisse $x=1$.

Question 11

$\displaystyle\lim\limits_{x \to +\infty} e^{-2x^2}$ est égale à :

Catégorie:

Exponentielle

Votre réponse	Choix	Commentaire	Bonne réponse
	$0$
	$-\infty$
	$+\infty$

Question 12

Cette affirmation est-elle vraie ou fausse ?
Il existe un réel $a$ et un réel $b$ tels que $e^{2a}+e^{2b} < 2e^{a+b}$.

Catégorie:

Exponentielle

Votre réponse	Choix	Commentaire	Bonne réponse
	Vrai
	Faux

Étudier le signe puis développer l'expression $\left( e^a - e^b\right)^2$.

Question 13

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par: $f(x)=(x+1)e^{2x}$.
Pour tout réel $x$, on a :

Catégorie:

Exponentielle

Votre réponse	Choix	Commentaire	Bonne réponse
	$f'(x)=2f(x)$
	$f'(x) = 2(x+1)f(x)$	Calculer $f'(x)$ et remplacer dans l'équation.
	$f'(x)-2f(x)=e^{2x}$

Question 14

Cette affirmation est-elle vraie ou fausse ?
Il existe un réel $a$ et un réel $b$ tels que $2e^{a+b} = e^{2a} + e^{2b}$.

Catégorie:

Exponentielle

Votre réponse	Choix	Commentaire	Bonne réponse
	Vrai
	Faux

Que se passe-t-il pour $a=0$ et $b=0$ ?

Question 15

Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=\ln\left(x^2\right)$.
L'ensemble de définition de $f$ est :

Catégorie:

Logarithmes

Votre réponse	Choix	Commentaire	Bonne réponse
	$]0;+\infty [$	Que se passe-t-il pour $x=-1$ ? Il faut résoudre $x^2>0$.
	$\mathbb{R}^*$
	$\mathbb{R}$

Question 16

L'équation $e^x=2$ a pour solution :

Catégorie:

Logarithmes

Votre réponse	Choix	Commentaire	Bonne réponse
	$\ln\left(\dfrac{1}{2}\right)$
	$\ln(2)$
	$e^2$

Question 17

L'équation $e^x=-2$ a pour solution :

Catégorie:

Logarithmes

Votre réponse	Choix	Commentaire	Bonne réponse
	aucune
	$\ln(2)$
	$\ln (-2)$

Question 18

Soit $f$ la fonction définie sur $]0 ; +\infty [ $ par $f(x)=x^2\ln(x)$.
Le nombre dérivé de $f$ en $e$ est :

Catégorie:

Logarithmes

Votre réponse	Choix	Commentaire	Bonne réponse
	$e^2$
	$3e$
	$0$	Revoir $\ln'(x)=\frac{1}{x}$ et $\left(uv\right)'(x)=u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$.

Question 19

On a représenté sur un axe les premiers et troisièmes quartiles ainsi que la médiane de deux séries statistiques.

Une seule des affirmation suivantes est vraie. Laquelle ?

Catégorie:

Statistiques

Votre réponse	Choix	Commentaire	Bonne réponse
	75 % au moins des valeurs de la série 1 sont inférieures à 5.
	50 % au moins des valeurs de la série 2 sont inférieures à 7.
	On ne peut pas savoir.
	Les valeurs de la série 1 sont inférieures aux valeurs de la série 2.

Dans ce type de représentation, le premier point est le premier quartile de la série, le second est la médiane et le troisième est le troisième quartile.
Le graphique de la série 1 permet en effet d'affirmer que : $Q_1=2$, $Me=3$ et $Q_3=5$.
Or dire $Q_3=5$ revient exactement à dire "75 % au moins des valeurs de la série 1 sont inférieures à 5 ", d'où la réponse.

Question 20

Ce diagramme représente les fréquences (en nombre décimal de 0 à 1) en fonction des valeurs d'un caractère.

Calculer la moyenne de la série.

Catégorie:

Statistiques

Votre réponse	Choix	Commentaire	Bonne réponse
	$e = 0,3$
	$\overline{x} = 108$
	On ne peut pas savoir.
	$\overline{x} = 108,75$

$\overline{x} = 80 \times 0,25 + 90 \times 0,1 + 105 \times 0,3 + 120 \times 0,1 + 145 \times 0,25 = 108,75$

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