Quiz de prérentrée

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Question 1

Quelle est la valeur de cette limite ? $\displaystyle \lim_{x\to +\infty} \dfrac{1-x^3}{x^2-2}$

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$0$
Should not have chosen
Selected
$1$
Mettre le terme de plus haute puissance $x^3$ en facteur au numérateur et au dénominateur, puis simplifier.
Should not have chosen
$+\infty$
Should not have chosen
$-\infty$
Should have chosen
Question 2

Quelle est la valeur de cette limite ? $\displaystyle \lim_{x\to +\infty} \sqrt{x+1}-\sqrt{x}$

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Selected
$0$
Should have chosen
$-\infty$
Should not have chosen
$+\infty$
Should not have chosen
$1$
Should not have chosen
Question 3

Considérons le système suivant :
$\displaystyle (S)\begin{cases} 2x+y & = 10 \\ 3x-y & = 5 \end{cases}$
Quelle est la valeur de la solution $x$ ?

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33
Question 4

Considérons un système général de 2 équations à 2 inconnues: $\displaystyle (S)\begin{cases} a\times x + b\times y &= c\\ \alpha\times x + \beta\times y &= \gamma \end{cases} $
Soit $E$ l'ensemble des solutions de $(S)$. Combien de solutions possibles peut comporter l'ensemble $E$ ?

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Selected
Une seule solution. Système régulier.
$\displaystyle (S)\begin{cases} x + y &= 0\\ x - y &= 2\end{cases}$
$E=\left\{ ( x=1 ; y=-1) \right\}$
Should have chosen
Selected
Une infinité de solutions. Système lié.
$\displaystyle (S)\begin{cases} x - y &= 0\\ 2x - 2y &= 0\end{cases} $
$E=\left\{ ( x = t; y = t ) \mathrm{pour tout} t\in \mathbb{R} \right\}$
Should have chosen
Selected
Aucune solution. Système incompatible.
$\displaystyle (S)\begin{cases} x + y &= 0\\ x + y &= 1\end{cases}$
$E=\left\{ \empty \right\}$
Should have chosen
Exactement deux solutions.
Should not have chosen
Question 5

La fonction $x \mapsto x\sqrt{x}$ est dérivable en $x=0$.

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Vrai
Faux
Should have chosen
Revenir à la définition de la dérivée et calculer la limite en $x=0$  de $\lim\limits_{\substack{h\to 0 \\ h>0}} \frac{(x+h)\sqrt{x+h}}{h}$.
Question 6

Soit $f$ une fonction numérique définie sur l'intervalle $[-1;3]$ et $a$ un réel de cet intervalle.
Si $f$ est continue sur $[-1;1]$ et sur $[1;3]$ alors $f$ est continue sur $[-1;3]$.

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Vrai
Should have chosen
Faux
$f$ est définie sur l'intervalle $[-1;3]$.
De plus les deux intervalles $[-1;1]$ et $[1;3]$ se chevauchent.
Enfin, autour du point $x=1$, on pose $f(1)=a$, il ne reste qu'à comparer la limite à droite et à gauche de $f(x)$ avec la valeur de $f(1)=a$.
Question 7

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=(2x^2+3)^3$. La fonction dérivée de $f$ est :

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$f' : x \mapsto 3(2x^2+3)^2$
$f' \: x \mapsto 6(2x^2+3)^2$
Selected
$f' : x \mapsto 12x(2x^2+3)^2$
Should have chosen
Question 8

Soit $L$ une fonction définie et dérivable sur $]0 ; +\infty [$ telle que pour tout réel $x$ de $]0; +\infty[$, $L'(x) = \dfrac{1}{x}$ et $L(1)=0$.
Alors la fonction $L$ est négative sur $] 0 ; 1 [$ et positive sur $]1 ; +\infty [$

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Selected
Vrai
Should have chosen
Faux
À partir de l'énoncé, dresser le tableau de signe de $L'$ en déduire le sens de variation de $L$ en inscrivant la valeur de $L(1)=0$.
Question 9

La fonction $A$ définie et dérivable sur $[0 ; 1]$ telle que, pout tout $x$ de $[0 ; 1]$ , $\displaystyle A'(x) = \frac{2x}{(1+2x)^2}$ est positive sur $[0;1]$.

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Vrai
Faux
Should have chosen
La dérivée est positive, ce qui n'entraîne pas que la fonction soit positive. Essayer avec $\displaystyle A = \frac{-1}{1+x^2}$.
Question 10

La fonction dérivée de $x \mapsto \sqrt{x^2 + 1}$ est toujours positive.

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Vrai
Faux
Should have chosen
Quelles sont les limites en $-\infty$ et $+\infty$ ? La monotonie est-elle possible ?
Question 11

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par: $\displaystyle f(x)=(x+1)e^{2x}$.
L'équation $f(x)=1$   admet dans $\mathbb{R}$ :

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une unique solution.

Should have chosen

deux solutions.

Should not have chosen
aucune solution.
Should not have chosen
Question 12

Soient $f$ et $g$ les fonctions définies sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=(x+1)e^{2x}$ et $\displaystyle g(x)=\frac{1-x}{e^{2x}}$. On a :

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$\lim \limits_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$
Should not have chosen
$\lim \limits_{x \to -\infty} g(x) = 0$
Should not have chosen
Selected
$\lim \limits_{x \to -\infty} \left( f\left(x\right) +g\left(x\right) \right)= +\infty$
Should have chosen
Question 13

$\displaystyle\lim\limits_{x \to +\infty} e^{-2x^2}$ est égale à :

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Selected
$0$
Should have chosen
$-\infty$
Should not have chosen
$+\infty$
Should not have chosen
Question 14

$\displaystyle \lim\limits_{x \to +\infty} \frac{2e^x+1}{e^x+2}$ est égale à :

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Selected
$2$
Should have chosen
$1$
Should not have chosen
$\displaystyle -\frac{1}{2} $
Should not have chosen
$+\infty$
Should not have chosen
Question 15

L'équation $e^x=-2$ a pour solution :

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$\ln (-2)$
Should not have chosen
$\ln(2)$
Should not have chosen
Selected

aucune

Should have chosen
Question 16

L'équation $e^x=2$ a pour solution :

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$e^2$
Should not have chosen
Selected
$\ln(2)$
Should have chosen
$\ln\left(\dfrac{1}{2}\right)$
Should not have chosen
Question 17

L'inéquation $e^x\leq 4$ a pour solution :

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Selected
$\left] -\infty ; \ln(4) \right]$
Should have chosen
$\left] 0 ; \ln(4) \right]$
Should not have chosen
$\left] 0 ; 4 \right]$
Should not have chosen
Question 18

Soit $f$ la fonction définie sur $]0 ; +\infty [ $ par $f(x)=x^2\ln(x)$.
Le nombre dérivé de $f$ en $e$ est :

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$e^2$
Should not have chosen
$0$
Should not have chosen
Selected
$3e$
Should have chosen
Question 19

On a représenté sur un axe les premiers et troisièmes quartiles ainsi que la médiane de deux séries statistiques.

Une seule des affirmation suivantes est vraie. Laquelle ?

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50 % au moins des valeurs de la série 2 sont inférieures à 7.
Should not have chosen
Selected
75 % au moins des valeurs de la série 1 sont inférieures à 5.
Should have chosen
Les valeurs de la série 1 sont inférieures aux valeurs de la série 2.
Should not have chosen

On ne peut pas savoir.

Should not have chosen
Dans ce type de représentation, le premier point est le premier quartile de la série, le second est la médiane et le troisième est le troisième quartile.
Le graphique de la série 1 permet en effet d'affirmer que : $Q_1=2$, $Me=3$ et $Q_3=5$.
Or dire $Q_3=5$ revient exactement à dire "75 % au moins des valeurs de la série 1 sont inférieures à 5 ", d'où la réponse.
Question 20

Ce diagramme représente la répartition des élèves d'un lycée qui accueille 286 élèves en Seconde.

Le nombre total d'élèves du lycée toutes classes confondues est :

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Selected
880
Should have chosen

858

Should not have chosen

On ne peut pas savoir.

Should not have chosen

781

Should not have chosen
Si l'on note $N$ le nombre total d'élèves du lycée, on a :
$\frac{32,5}{100} \times N = 286$
donc $N = 286 \times \frac{100}{32,5} = 880$