Quiz de prérentrée

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Question 1

Quel est le domaine de définition dans $\mathbb{R}$ de la fonction suivante : $\dfrac{x^2-1}{x^2+1}$

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Votre réponseChoixCommentaireBonne réponse
$\lbrack -1 ; 1 \rbrack $
Should not have chosen
$\mathbb{R} \setminus \{ -1; 1 \}$
Should not have chosen
$\mathbb{R}$
Should have chosen
Selected
$\rbrack -\infty ; -1 \lbrack \; \cup \; \rbrack 1 ; +\infty \lbrack$
Seules les racines du dénominateur $x^2+1$ de la fraction sont à exclure du domaine de définition.
Should not have chosen
Question 2

Quel est le domaine de définition dans $\mathbb{R}$ de la fonction suivante : $\dfrac{x+1}{\sqrt{x^2-1}}$

Catégorie:

Votre réponseChoixCommentaireBonne réponse
Selected
$\rbrack -\infty ; -1 \lbrack \; \cup \; \rbrack 1 ; +\infty \lbrack$
Should have chosen
$\rbrack -1 ; 1 \lbrack$
Should not have chosen
$\mathbb{R} \setminus \{ -1 ; 1 \} $
Should not have chosen
$\rbrack -\infty ; -1 \rbrack \; \cup \; \lbrack 1 ; +\infty \lbrack$
Should not have chosen
Question 3

Considérons un système général de 2 équations à 2 inconnues: $\displaystyle (S)\begin{cases} a\times x + b\times y &= c\\ \alpha\times x + \beta\times y &= \gamma \end{cases} $
Soit $E$ l'ensemble des solutions de $(S)$. Combien de solutions possibles peut comporter l'ensemble $E$ ?

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Selected
Une infinité de solutions. Système lié.
$\displaystyle (S)\begin{cases} x - y &= 0\\ 2x - 2y &= 0\end{cases} $
$E=\left\{ ( x = t; y = t ) \mathrm{pour tout} t\in \mathbb{R} \right\}$
Should have chosen
Aucune solution. Système incompatible.
Should have chosen
Exactement deux solutions.
Should not have chosen
Une seule solution. Système régulier.
Should have chosen
Question 4

Considérons le système suivant :
$\displaystyle (S)\begin{cases} 2x+y & = 10 \\ 3x-y & = 5 \end{cases}$
Quelle est la valeur de la solution $x$ ?

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23
Question 5

Soit $f$ une fonction numérique définie sur l'intervalle $[-1;3]$ et $a$ un réel de cet intervalle.
Si $f$ est continue sur $[-1;3]$, elle est dérivable sur $[-1;3]$.

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Vrai
Selected
Faux
Should have chosen
Non, exemple $f(x)=\left| x \right|$ continue sur $[-1;3]$ non dérivable en $x=0$.
Question 6

Soit $f$ une fonction numérique définie sur l'intervalle $[-1;3]$ et $a$ un réel de cet intervalle.
Si $f$ est dérivable en $a$ elle est continue en $a$.

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Selected
Vrai
Should have chosen
Faux

C'est un théorème du cours.

Question 7

Soit $f$ une fonction numérique définie sur l'intervalle $[-1;3]$ et $a$ un réel de cet intervalle.
Si $f$ est dérivable sur $[-1;1]$ et sur $[1;3]$ alors $f$ est dérivable sur $[-1;3]$.

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Vrai
Faux
Should have chosen
La fonction dérivée $f'(x)$ possède une dérivée à gauche et à droite de $x=1$, mais rien ne garantit que cette fonction $f'(x)$ ne soit définie pour $x=1$.
C'est le cas dans le graphique ci-dessous.
Question 8

La fonction dérivée de $x \mapsto \sqrt{x^2 + 1}$ est toujours positive.

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Vrai
Faux
Should have chosen
Quelles sont les limites en $-\infty$ et $+\infty$ ? La monotonie est-elle possible ?
Question 9

Soit $f$ une fonction dérivable sur $\mathbb{R}$. La courbe de sa dérivée est donnée ci-dessous.
$f$ est-elle strictement décroissante sur $] -\infty ; 1 [$ ?

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Vrai
Should have chosen
Faux
Quelle est le signe de $f'$ sur $] - \infty ; 1 [$ ? En déduire le sens de variation de $f$.
Question 10

Soit $f$ une fonction numérique et $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans le plan muni du repère $(O ; \vec{i} ; \vec{j} )$.
Si la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point $B(1 ; 5 )$ est parallèle à la droite d'équation $y=2x + 1$ alors $f'(1)=2$.

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Vrai
Should have chosen
Faux
La tangente en $B( 1 ; 5 )$ parallèle à $y=2x + 1$ permet d'obtenir son  coefficient directeur. Le coefficient directeur permet de déduire le nombre dérivé $f'(1)$.
Question 11

Cette affirmation est-elle vraie ou fausse ?
Il existe un réel $a$ et un réel $b$ tels que $e^{2a}+e^{2b} < 2e^{a+b}$.

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Vrai
Faux
Should have chosen
Étudier le signe puis développer l'expression $\left( e^a - e^b\right)^2$.
Question 12

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par: $\displaystyle f(x)=(x+1)e^{2x}$.
L'équation $f(x)=1$   admet dans $\mathbb{R}$ :

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une unique solution.

Should have chosen
aucune solution.
Should not have chosen

deux solutions.

Should not have chosen
Question 13

$\displaystyle \lim\limits_{x \to +\infty} \frac{2e^x+1}{e^x+2}$ est égale à :

Catégorie:

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$+\infty$
Should not have chosen
$1$
Should not have chosen
$\displaystyle -\frac{1}{2} $
Should not have chosen
$2$
Should have chosen
Question 14

Cette affirmation est-elle vraie ou fausse ?
Il existe un réel $a$ et un réel $b$ tels que $2e^{a+b} = e^{2a} + e^{2b}$.

Catégorie:

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Vrai
Should have chosen
Faux
Que se passe-t-il pour $a=0$ et $b=0$ ?
Question 15

Soit $f$ la fonction définie sur $]0 ; +\infty [ $ par $f(x)=x^2\ln(x)$.
Le nombre dérivé de $f$ en $e$ est :

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$0$
Should not have chosen
$3e$
Should have chosen
$e^2$
Should not have chosen
Question 16

Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=\ln\left(x^2\right)$.
L'ensemble de définition de $f$ est :

Catégorie:

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$\mathbb{R}$
Should not have chosen
$\mathbb{R}^*$
Should have chosen
$]0;+\infty [$
Should not have chosen
Question 17

L'inégalité $\ln (x-1) < 1$ est vérifiée pour :

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$x<1+e$
Should not have chosen
$x>1$
Should not have chosen
$1 < x < 1+e$
Should have chosen
Question 18

L'égalité $\displaystyle e^{\ln x}=x$ est vrai pour tout $x$ appartenant à :

Catégorie:

Votre réponseChoixCommentaireBonne réponse
$\mathbb{R}$
Should not have chosen
$\left]0;+\infty\right[$
Should have chosen
$\left[0;+\infty\right[$
Should not have chosen
Question 19

Ce diagramme représente les fréquences (en nombre décimal de 0 à 1) en fonction des valeurs d'un caractère.

Calculer la moyenne de la série.

Catégorie:

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$e = 0,3$
Should not have chosen
$\overline{x} = 108,75$
Should have chosen

On ne peut pas savoir.

Should not have chosen
$\overline{x} = 108$
Should not have chosen
$\overline{x} = 80 \times 0,25 + 90 \times 0,1 + 105 \times 0,3 + 120 \times 0,1 + 145 \times 0,25 = 108,75$
Question 20

Ce nuage de points représente les fréquences cumulées croissantes d'une série statistique constituée par les salaires mensuels, en centaines d'euros, des salariés d'une entreprise.

Une seule des 4 affirmations suivantes est correcte. Laquelle ?

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On ne peut pas savoir.
Should not have chosen
La moitié au moins des salaires mensuels sont supérieurs ou égaux à 1 900 euros.
Should not have chosen

Trois-quarts des salaires mensuels sont inférieurs à 1 900 euros.

Should not have chosen
La moitié au moins des salaires mensuels est comprise entre 1 600 euros et 2 000 euros inclus.
Should have chosen
Déjà, le salaire correspondant à une fréquence de $0,75$ est de 2000 euros (et pas 1900) : l'affirmation "Trois-quarts des salaires mensuels sont inférieurs à 1 900 euros." est fausse. De même, l'affirmation "La moitié au moins des salaires mensuels sont supérieurs ou égaux à 1 900 euros." est fausse car la moitié des salaires est inférieure à 1800 euros. Le salaire 1 600 euros a une fréquence de $0,25$, et le salaire 2000 euros a une fréquence de $0,75$ : donc, comme entre $0,25$ et $0,75$, on a 50 % des effectifs, il vient que la moitié au moins des salaires est comprise entre 1 600 euros et 2 000 euros inclus.